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5 juin 2018 2 05 /06 /juin /2018 09:21

Réflexion sur l'incomplétude de la connaissance.


 

 

Le mathématicien et logicien Kurt Gödel (1906-1978) a émis deux théorèmes appelés « théorèmes d'incomplétude de Gödel ».

 


 

Ces théorèmes s'énoncent comme suit.

 

1-Tout système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique contient des propositions qui ne peuvent être démontrées, ou réfutées, en utilisant le système axiomatique en question.

 

2- Dans un système axiomatique donné permettant de faire de l'arithmétique, la proposition concernant la non-contradiction de ce système (c'est-à-dire le fait qu'on ne pourra jamais en déduire deux propositions mathématiques contradictoires) est elle-même indécidable.

 

Des analogies peuvent être trouvées à ces théorèmes puisqu'il s'agit d'axiomes.

 

La définition d'axiome est: vérité généralement admise, (dictionnaire historique de la langue française) dans « vérité généralement admise » l'axiome ne peut être qu'une construction humaine à un moment donné. Bien évidemment les « vérités généralement admises » ne peuvent que changer au cours du temps et sont attachées à chacun. Le philosophe dirait qu'elles sont réflexives

 

On peut étendre ces théorèmes au fait que tout système d'objectivation c'est à dire de mise en connaissance par une preuve, fondé sur des axiomes est limité par une frontière de démonstration ou de réfutation.

 

L'incomplétude est un élément fondamental de la connaissance et de son axiomatique. L'incomplétude, n'est pas l'incertitude. Notre connaissance est incomplète et imprécise mais non incertaine.

 

On peut définir la connaissance comme étant l’objectivation du réel, pour le moins d'un réel envisagé et partiel. Cette objectivation est le processus humain de qualification, et donc de description de ce réel avec son énoncé, c'est-à-dire sa nomination généralement admise.

 

L'objectivation d'un objet réel est une méthode socialement reconnue qui aboutit à l'évidence de l'objet réel considéré que l'on peut appeler preuve. Comme la méthode est socialement reconnue, l'évidence ou la preuve est également sociale, en ceci qu'il s'agit d'un jugement humain social se satisfaisant de la méthode.

L'évidence des uns n'est pas forcément celle d'autres.

 

Chaque méthode d'objectivation comporte forcément une imprécision acceptée socialement , (qui n'est pas incomplétude). En physique, chaque mesure et chaque résultat doit obligatoirement être accompagné de sa fourchette d’imprécision sinon on sort du domaine de la physique.

 

L'objectivation d'un réel quelconque comporte un énoncé et une méthode. L'énoncé avec sa méthode d'objectivation doivent évidemment être consignés afin de permettre une validation comme Connaissance.

Gödel nous dit que tout énoncé d'un théorème est égal à sa démonstration ; on pourrait dire par analogie que tout énoncé d'un réel est égal à sa à sa méthode d'objectivation.

 

Ethnométhodes 

 

Si l'objectivation d'un réel quelconque est égale à la totalité de la méthode permettant de le produire s'il s'agit d'un artefact, ou de le mettre en évidence s'il s'agit d'un phénomène naturel par exemple de l'ordre de la physique, de la chimie, de la biologie ou des mathématiques, on comprend que la description exhaustive peut être extrêmement lourde et ne peut être employée à chaque fois qu'il est évoqué.

Une description partielle du réel peut satisfaire l'esprit dans la mesure ou tout un chacun ne possède pas les connaissances préalables devenant pour tous des connaissances implicites au sein d'une description partielle satisfaisante. Encore une fois, le « satisfaisant » est purement réflexif et concerne chaque individu ou groupe d'individu.

 

Exemple : si je veux objectiver une table dans la précision absolue de son aspect, je devrais décrire par le menu toutes les étapes de sa fabrication, y compris la manière dont il faut tenir le rabot.
Mais pour se passer à chaque fois de l'exhaustivité de la description on dit que la table est de telle dimension, utilisant telles essences de bois et avec les pieds de tel aspect. On ne va pas à chaque fois décrire les méthodes utilisées par le menuisier, méthodes qu'il a acquises durant son apprentissage. Ces méthodes seront pour lui et nous-mêmes des méthodes implicites pratiquées par l'ensemble des menuisiers on parle ainsi d'ethnométhodes à partir du moment ou la dite méthode appartient à un groupe qualifié, ici des menuisiers.

 

Il en est de même pour des physiciens ou des mathématiciens. Si je devais aller à un congrès de mathématique je n'y comprendrais un traître mot car je n'ai pas appris les mathématiques de haut niveau, c'est-à-dire que je ne connais pas la totalité des axiomes utilisés en mathématique.

 

Cependant, tout processus mathématique devrait posséder une démonstration exhaustive dépourvue de tous implicites venant d'une connaissance préalable, démonstration menée avec des opérations logiques simples appartenant au langage courant, comme par exemple : plus, moins, égale, plus grand que, ou, et, tant que, si alors etc. En quelque sorte, tout processus mathématique devrait être décomposable en séquences simples (de type binaire) et mécanisable à l'aide d'une machine de Turing ce qui est une réflexion de Gödel sur les mathématiques.

 

En informatique théorique, une machine de Turing est un modèle abstrait du fonctionnement des appareils mécaniques de calcul, tel un ordinateur et sa mémoire. Ce modèle a été imaginé par Alan Turing en 1936, en vue de donner une définition précise au concept d’algorithme ou de « procédure mécanique ». Il est toujours largement utilisé en informatique théorique, en particulier dans les domaines de la complexité algorithmique et de la calculabilité.

La thèse de Church postule que tout problème de calcul fondé sur une procédure algorithmique peut être résolu par une machine de Turing. Cette thèse n'est pas un énoncé mathématique, puisqu'elle ne suppose pas une définition précise des procédures algorithmiques. En revanche, il est possible de définir une notion de « système acceptable de programmation » et de démontrer que le pouvoir de tels systèmes est équivalent à celui des machines de Turing. (Wikipedia).

 

J'ajouterais à cette réflexion que tout processus logique non mécanisable sortant des axiomes connus en mathématique sort du champ des mathématiques.

 

De la même manière, toute méthode, dans sa description, par des mots, des plans, des images peut être mécanisable par une machine de Turing puisqu'il s'agit d'une suite de signes décomposables en mode binaire.

Il est intéressant de mesurer la complexité d'un artefact par le nombre de bits nécessaires à sa description / fabrication.

On peut ainsi s'apercevoir qu'il y a complexification continu des artefacts.

La description / fabrication d'une automobile d'un modèle actuel va demander plus de bits que la description / fabrication d'un modèle conçu il y a 30 ans.

 

La Connaissance.

 

Aucun humain ne peut connaître la totalité des axiomes disponibles à la connaissance.

L'homme a dû définir des champs dans chacun desquels il existe des axiomes commodes appris et connus par les membres du champs de cette connaissance que l'on peut appeler discipline par exemple, la chimie, la physique, la mécanique, les mathématiques, etc.

Tous les axiomes utilisés par chaque champ de connaissance s'appuient sur des axiomes plus anciens qui ont été améliorés. Ces axiomes améliorés sont également susceptibles d'être améliorés. Par exemple en physique, les axiomes admis par la mécanique de Newton ont été remplacés par ceux de la relativité de Einstein, lesquels ne pourront être que surpassés par d'autres à venir. Mais on peut rester dans la physique newtonienne qui est une bonne approximation pour une représentation commode et utile de la cosmologie proche.

 

Il peut aussi exister des axiomes différents pour décrire un réel identique, par exemple un photon peut être défini de la même façon en mécanique corpusculaire ou ondulatoire.

 

Axiomes commodes ou approximation compréhensible.

 

Toute connaissance est fondée sur des axiomes commodes.

Le terme d'axiome commode pourrait être considéré comme un pléonasme, tout axiome est forcément commode, mais chaque axiome donné peut en produire d'autres plus approximatifs et donc plus commodes pour tout un chacun, par exemple une description partielle mais compréhensible dans un groupe donné effaçant des informations devenant implicites dont on convient qu'elles sont connues et admissibles.

Tout axiome est une construction logique donc humaine comportant une imprécision connue et admise et une incomplétude également socialement admise.

 

L'infinitude du réel.



Si l'on possède la certitude de pouvoir qualifier comme réel ce que l'on connaît, le réel est pourtant plus vaste que les limites de notre connaissance. Il y a donc un réel inconnu ; par exemple, on m'a présenté X ; j'ai fait sa connaissance, mais avant cette présentation je n'avais aucune idée de son existence, pourtant il peut me témoigner qu'il existait bien avant ce jour. De nombreuses galaxies ont été mises en évidence ces 50 dernières années, elles existaient bien depuis des milliards d'années.

L'appréciation ou la connaissance du réel ne peut être que propre à un groupe donné et difficilement accessible à un autre groupe, on pourrait parler d'ethno-connaissance du réel pour des astrophysiciens, pour des chimistes, pour des microbiologistes etc. Cette ethno-connaissance peut également et surtout s'appliquer à d'autres civilisations possédant d'autres méthodes permettant leur propre objectivation du réel avec l'aide de leurs propres axiomes commodes.


Il ne peut y avoir d'universalité dans la connaissance.

 

Peut on envisager l'étendue du réel ?

Le réel est de nature fractale et donc infini.

Exemple : Si je veux mesurer la longueur des côtes maritimes de la France, je dois d'abord envisager l'approximation de la mesure. Ce serait à marée basse, à marée haute, quel coefficient de marée. Puis vais-je mesurer chaque plage et chaque rocher dans ce cas la mesure va s'étendre. Puis vais-je mesurer le contour de chaque caillou, puis de chaque grain de sable, de chaque molécule etc.

On voit que selon l'approximation posée a priori le contour des côtes maritime sera extrêmement différent et comme ce contour est en fait un fractal, il sera infini.

La description exhaustive de chaque réel devant aller jusqu'à sa consistance atomique est un fractal infini donc l'ensemble du réel est un fractal infini.

On comprend que nos axiomes ne peuvent être que des approximations.

 

La Science.

 

Pour faire entrer les phénomènes réels dans la connaissance, l'homme a mis au point une méthode admise par tous que l'on appelle La Science.

 

La Science est donc une méthode socialement admise et applicable par tous quelque soit sa conception du monde.

La méthode scientifique permet la mise au point de méthodes obligatoirement expérimentales et obligatoirement reproductibles, méthodes desquelles on peut élaborer de nouveaux axiomes ou améliorer des axiomes existants, nouveaux axiomes entrant dans une nouvelle connaissance du réel.

Pour que ces nouveaux axiomes soient reconnus comme tels, les résultats obtenus par une méthode scientifique doivent être validés par la communauté de la discipline dans laquelle ces nouveaux axiomes s'inscrivent. Une fois socialement validés par les membres de la discipline considérée, ces nouveaux axiomes simplifiés peuvent être validés par l'ensemble social, ils deviennent ainsi disponibles pour la croyance commune.


La science représente un pouvoir car elle règle aujourd'hui les croyances communes.

On comprend que le pouvoir sur la société peut introduire un filtre entre les connaissances particulières de tel ou tel groupe scientifique et leur mise à disposition pour l'ensemble du corps social.


Par exemple, si les résultats donnent des axiomes trop éloignés de ceux qui existent, il peut y avoir incompréhension de la communauté scientifique mais également de la société. On peut donner pour exemple les travaux sur la mémoire immunologique de l'eau de Jacques Benvéniste ou les travaux et théories de Jean Pierre Petit concernant la matière noire et l'expliquant par l’existence d'un univers parallèle, (le système Janus). Jean-Pierre Petit fut ostracisé par le CNRS car ses recherches étaient trop hétérodoxes. La science possède encore ses sorcières dont on fait la chasse. De nouvelles connaissances ont toujours été freinées par les pouvoirs, les qualifiant d'hérétiques et, aujourd'hui, de complotistes ou conspirationnistes.

 

Le processus de la connaissance possède une limitation intrinsèque.

 

L'accès à la connaissance, et donc l'intelligence humaine, ne peut être individuel et s'exprimer ex nihilo : sans apprentissage, le cerveau humain est inopérant. Or, l'apprentissage commence dés la naissance par l'acquisition de la parole et par l'observation du comportement de la mère et de l'entourage immédiat.

Les premières acquisitions sont les mythes réglant les rapports sociaux, or, ces mythes sont forcément anciens. L'ensemble des mythes crus par un corps social, le plus souvent inconsciemment, que l'on peut appeler dans ce cas « allant de soi » constitue une culture. Les mythes crus à un moment donnés sont le dernier niveau d'une mythologie accumulée au cours du temps ou chaque nouveau mythe s'inspire du mythe précédent. Il en est de même des mots utilisés dont la signification et l’étymologie proviennent de mythes, et derrière chaque mythe, il y a une histoire ancienne.

 

Les axiomes formant la connaissance sont liés à nos capacités de conceptualisation et de représentation du monde, c'est-à-dire à notre culture issue d'un passé qui ne peut être que lointain.
Notre capacité à conceptualiser est forcément limitée et ne peut avancer que lentement car chaque nouveau concept est intrinsèquement lié au précédent, sinon il ne pourrait être compris.

 

Aujourd'hui, l'ensemble des connaissances humaines peuvent être accumulées sous forme binaire dans des machines de Turing, or le contenu de ces machines connectées en réseaux peut être mis à la disposition de chacun. Des machines peuvent accomplir des tâches de plus en plus complexes en suppléant l'homme et même parfois en accomplissant ce que l'homme ne peut lui-même accomplir, car le geste mécanique est beaucoup plus précis et rapide que le geste humain. Les machines mécaniques sont pour la plus part commandées par des machines de Turing pouvant être elles aussi connectées en réseau. L'homme, s’il est défaillant, peut être assisté par une mécanique, elle-même commandée par une machine de Turing.

On peut se poser la question suivante : les machines pourront-elles un jour inventer de nouvelles méthodes et de nouveaux axiomes et devenir autonomes ? Pour que ceci se réalise il faudrait que les machines s'organisent en société et puissent posséder une histoire et des mythes, en fait deviennent donc ce qui est ontologiquement humain.
 

Pour conclure et en revenir aux théorèmes d'incomplétude de Gödel, ils établissent, en bref, que les mathématiques sont une méthode au même titre qu'une autre, et qui ne peut exister en dehors de l’esprit et de la culture humains.
 

(Réflexions après lecture du livre de Pierre Cassou-Nogués: "Les Démons de Gödel")

 

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